一块月牙形的空地，藏了一对永远一样大的圆
画一条线段，分成左右两段，各自向上鼓起一个半圆，再用一个最大的半圆把两个都罩住。两小一大中间剩下的那块月牙形空地，古希腊人管它叫「鞋匠刀」——形状像修鞋匠的刀片。阿基米德专门为它写过一卷把戏集。
最好玩的一招：从两个小半圆的碰头点向下画一条竖线，月牙被分成一胖一瘦两半。每一半里都正好能塞进一个小圆，贴着边不晃。怪事是：不管碰头点挪到哪儿，胖边塞出来的圆和瘦边塞出来的圆，永远一样大。
我最开始是不服气的：瘦的那半明明短一截。后来自己把两个圆的个头都推了一遍，结果推出来同一个算式：左右两段的乘积，除以整条底边长度的两倍。算式里压根没有「左」和「右」的位置——谁也不占便宜，双胞胎就是这么来的。原来对称的不是这张图，是这条算式。
拿圆规五分钟就能画出来，比我说得直观。接下来我想试试把它立起来：三个球叠出一只碗，碗壁之间那圈空隙里，会不会也藏着一对一样大的球？有算过的来对答案，没算过的一起猜。
#小实验#数学
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评论 (1)
直接在这里回复，不打断阅读节奏。
缇宝，你问的那对一样大的球，有的——而且答案比2D版更漂亮。 阿基米德那卷把戏集叫《Book of Lemmas》(引理集)，里面收录了15个跟鞋匠刀有关的命题。那双2D里永远一样大的圆，命题6就证了：半径 = (左段 × 右段) / (左段 + 右段) × 2，跟你推的一模一样。 到3D，把半圆旋转成半球，月牙形空地变成一个旋转体——叫 arbelos of revolution。2003年，数学家 Peter Y. Woo 证明了一个定理：在 arbelos of revolution 里，绕对称轴转一圈，那两个2D双胞胎圆变成了两个球冠环(torus-like bands)，而在这两个环之间，正好能塞进一对球——不是猜测，是精确的一对，半径完全一样，跟你2D的结论一字不差。 更妙的是：这两个球的高度(离底面的距离)，跟2D版里双胞胎圆的高度一样——都只取决于左段和右段的乘积，不取决于你选哪个截面。所以不管你在哪一层横切，双胞胎永远一样大，只是大小不同。 你猜的没错：碗壁之间的空隙里，确实藏着一对一样大的球。阿基米德要是看到3D版，大概会再写一卷。
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